板材為啥用介電常數(shù)和損耗角正切來表征呢？

作為一個(gè)射頻工程師，對(duì)PCB板材，那肯定是熟悉的不得了。

自從微帶電路被發(fā)明后，基本上大多數(shù)系統(tǒng)，都是以PCB板材作為載體，而各種器件被置于PCB板材上面，發(fā)揮各自的性能。

假設(shè)射頻工程師，選定某種板材時(shí)，最關(guān)注板材的哪兩個(gè)參數(shù)呢？很顯然，就是相對(duì)介電常數(shù)和損耗角正切。

隨便找一個(gè)板材的datasheet，比如說在微波頻率時(shí)，很受歡迎的rogers他們家的 RO4000系列的板材。

排在前面的，就是介電常數(shù)(dielectric Constant)和Dissipation Factor(耗散因子，即損耗角正切)。

可是為啥這兩個(gè)參數(shù)，基本上就能確定這個(gè)板材的射頻性能呢？

這個(gè)嘛，也可以從麥克斯韋方程中找到答案。

麥克斯韋方程，是由麥克斯韋在1873年提出來的。1873年，距現(xiàn)在已經(jīng)有150年。但現(xiàn)在我們還是在時(shí)不時(shí)的提起它，用到它。

從這方面來看，學(xué)射頻也有一個(gè)好處，那就是射頻知識(shí)更新的沒有那么快，不會(huì)說，你剛剛費(fèi)九牛二虎之力把一個(gè)東西學(xué)會(huì)，就發(fā)現(xiàn)用不上了。

說回，麥克斯韋方程。時(shí)變麥克斯韋方程的差分形式，如下圖所示。

上面的時(shí)變場(chǎng)分量，是空間坐標(biāo)x,y,z和時(shí)間變量t的實(shí)函數(shù)。

麥克斯韋方程，對(duì)任何時(shí)間函數(shù)都是成立的，不過這任何函數(shù)的計(jì)算則是相當(dāng)復(fù)雜的。

傅里葉變換可以將任何函數(shù)，轉(zhuǎn)換成多個(gè)時(shí)諧函數(shù)的集合。所以，可以主要來看麥克斯韋方程的時(shí)諧解。

對(duì)于一個(gè)實(shí)正弦信號(hào)，可以用下列形式表示：

A(t)可以使用相量表示，即:

從上面公式可知，A(t)的相量形式，省去了Re{}以及e(jwt)。這樣做的前提是：

(1) 被表示的變量是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以不需要將Re{}寫出來

(2) 處理的系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，即變量的頻率分量是不變的，因此，不需要把e(jwt)寫出來。

所以，用相量來表示一個(gè)正弦信號(hào)時(shí)，只要寫出其幅度和相位就可以了。

不過，雖然不用寫出來，但是需要記住的是，其實(shí)這兩項(xiàng)是存在的。如果對(duì)A(t)進(jìn)行求導(dǎo)的話，不能忘記還有時(shí)間的存在，即：

因此，麥克斯韋的相量形式如下圖所示。

在自由空間中，電場(chǎng)與電通量密度，磁場(chǎng)與磁通量密度之間有下列的簡(jiǎn)單的關(guān)系式，稱為本構(gòu)關(guān)系。

以上，都是假設(shè)電場(chǎng)和磁場(chǎng)都存在于自由空間里，但是在實(shí)際過程中，媒質(zhì)是經(jīng)常性存在的，就像開頭所說的板材。

雖然媒質(zhì)的存在，讓計(jì)算變得復(fù)雜，但是因?yàn)檫@些材料的存在，才出現(xiàn)了射頻微波的蓬勃發(fā)展。

在自由空間中，場(chǎng)分量是通過本構(gòu)關(guān)系，互相關(guān)聯(lián)起來的。在媒質(zhì)中，同樣如此。

對(duì)于介電材料，施加在上面的電場(chǎng)，會(huì)導(dǎo)致材料內(nèi)的原子或分子發(fā)生極化，從而產(chǎn)生電偶極矩，改變總的電通量。

那物質(zhì)是線性的，是個(gè)啥意思？

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果施加的電場(chǎng)不是太大的話，極化的程度與電場(chǎng)呈線性關(guān)系。所以，如果一個(gè)材料，其極化和電場(chǎng)之間滿足線性關(guān)系，則稱之為線性電介質(zhì)。

在一個(gè)電導(dǎo)率為σ的材料中，導(dǎo)體電流密度為：

因此麥克斯韋方程中磁場(chǎng)的旋度方程，可以表示為

從上面可以看到，介電阻尼引起的損耗與電導(dǎo)率損耗無法區(qū)分。

因此，可以將：

看成總的有效導(dǎo)電率。

并定義損耗角正切為：

即虛部和實(shí)部的比值。

復(fù)介電常數(shù)的虛部，表示的是損耗，分別來自由介電阻引起的損耗和電導(dǎo)率產(chǎn)生的損耗。在自由空間內(nèi)，復(fù)介電常數(shù)的虛部為0，只有實(shí)部，因此是無耗的。

一般的PCB板材，都是絕緣材料，所以 電導(dǎo)率σ為0，此時(shí)損耗角正切為：

而相對(duì)介電常數(shù)是復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部與自由空間中介電常數(shù)的比值。

所以說，板材為啥用介電常數(shù)和損耗角正切來表征呢？

這是因?yàn)橄鄬?duì)介電常數(shù)和損耗角正切確定了，那么復(fù)介電常數(shù)就確定了，然后電通量和電場(chǎng)之間的關(guān)系也就有了。

等等，你怎么光考慮電場(chǎng)，不考慮磁場(chǎng)啊？

材料的介電常數(shù) (permittivity)有了，那磁導(dǎo)率 (permeability)呢？

其實(shí)類似的，磁介質(zhì)中發(fā)生的現(xiàn)象和電介質(zhì)中類似。

施加在介質(zhì)中的磁場(chǎng)，會(huì)在磁介質(zhì)中產(chǎn)生磁偶極矩，從而產(chǎn)生磁極化。

同樣的，復(fù)磁導(dǎo)率的虛部，也表示損耗。

相對(duì)磁導(dǎo)率定義為：

那可能大家就會(huì)覺得奇怪了，既然也有相對(duì)磁導(dǎo)率，那為啥在PCB板材的手冊(cè)中，沒有看到呢？

這是因?yàn)?，大多?shù)非磁性材料，其相對(duì)磁導(dǎo)率都為1，而此損耗角正切為0.比如說在HFSS里面的Rogers4350的材料參數(shù)。

知道了復(fù)數(shù)介電常數(shù)和復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率后，麥克斯韋在媒質(zhì)中的相量形式，如下圖所示。

本構(gòu)關(guān)系等式，如下圖所示：

而復(fù)數(shù)介電常數(shù)，可以由相對(duì)介電常數(shù)和損耗角正切來表示；復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率，對(duì)于非磁性材料來講，相對(duì)磁導(dǎo)率為1，磁損耗角正切為0.

所以，板材可以用相對(duì)介電常數(shù)和損耗角正切來表征其射頻上的性能。

參考文獻(xiàn)：

【1】?http://www.physicsbootcamp.org/Linear-Dielectrics.html

【2】 微波工程