香農(nóng)采樣定理

香農(nóng)采樣定理是信息論中的基本概念，它給出了取樣頻率和信號(hào)帶寬之間最小充分采樣率。該定理由克勞德·香農(nóng)于1949年在《貝爾系統(tǒng)技術(shù)日志》（Bell System Technical Journal）上發(fā)表，對(duì)數(shù)字信號(hào)處理及通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

1.香農(nóng)采樣定理的定義

香農(nóng)采樣定理指出：如果一個(gè)連續(xù)時(shí)間的信號(hào)帶寬有限，則此信號(hào)的極限信息可以被一組等間隔采樣點(diǎn)的數(shù)字信號(hào)表示，而這些采樣點(diǎn)的采樣頻率必須大于信號(hào)帶寬的兩倍。

2.香農(nóng)采樣定理公式證明

設(shè)信號(hào) f(t) 的傅里葉變換為 F(ω)，其中 ω 為角頻率，f(t) 的帶寬為 B。

根據(jù)采樣定理，采樣頻率 f 必須滿(mǎn)足：

f > 2B

則經(jīng)過(guò)沖激串 P(t) 的卷積得到采樣信號(hào) x(t)：

x(t) = ∑n=-∞^∞ f(nT) · P(t-nT)

其中 T 為采樣周期，P(t) 為沖激串。

將上式代入傅里葉變換中得到：

X(ω) = (1/T) ∑n=-∞^∞ F(ω-2πn/T) · P(ω-2πn/T)

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可以證明：

當(dāng) |ω| < π/T 時(shí)，X(ω) 的值可由 F(ω) 確定；

當(dāng) π/T ≤ |ω| ≤ π/B 時(shí)，X(ω) 的值全部為零；

當(dāng) |ω| > π/B 時(shí)，X(ω) 的值不完全由 F(ω) 決定，因此信號(hào)F(ω)會(huì)出現(xiàn)混疊。

因此，在頻率范圍 [π/T, π/B] 內(nèi)出現(xiàn)的混疊是必然的，以此推導(dǎo)可以得出最小采樣頻率：f > 2B。

3.香農(nóng)采樣定理的意義和作用

香農(nóng)采樣定理的本質(zhì)是研究信號(hào)在離散時(shí)間下的表示方式，指出了如何將連續(xù)時(shí)間的信號(hào)轉(zhuǎn)化為離散時(shí)間的信號(hào)，并保證了采樣后信號(hào)信息能夠完全恢復(fù)。它在數(shù)字信號(hào)處理、通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

例如，在數(shù)碼相機(jī)、數(shù)碼錄音機(jī)、有線(xiàn)與無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)等領(lǐng)域都需要依據(jù)香農(nóng)采樣定理進(jìn)行信號(hào)的采集和傳輸處理，以保證信號(hào)質(zhì)量和信息的無(wú)失真?zhèn)鬏?/a>。