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來源：射頻學堂 公眾號
作者：RF 小木匠
大家好，這里是【射頻學堂】。
阻抗匹配是射頻設計的一個基本課題，無論是無源器件，比如功分器，耦合器，濾波器，天線，還是有源電路，比如功放，低噪放，混頻器等等，都離不開阻抗匹配這個環(huán)節(jié)。談到阻抗匹配，大家第一個想到的肯定是奇妙的Smith Chart，我們在圓圖上轉圈圈就可以得到我們需要的匹配電路。
還有一種常見的阻抗匹配手段—— 阻抗變換，無論負載阻抗是多少，只要我們看進去的輸入阻抗是匹配的就好了，實現(xiàn)阻抗變換的器件叫做阻抗變換器，英語有個霸氣的名字—— Impedance Transformer 。
一 1/4 波長阻抗變換器
對于一個端接實數負載的射頻電路，我們可以接一段1/4波長特定阻抗 Z1 的傳輸線將負載阻抗RL 變換到和饋線阻抗Z0 一樣的輸入阻抗Zin， 以滿足阻抗匹配的要求。
這段1/4波長阻抗變換器的阻抗 Z1 可以由下面公式計算得出：
也就是說通過這個阻抗變換器，我們把負載阻抗RL變換成和饋線阻抗Z0 一樣了。因為與波長相關，這個匹配只是在1/4波長（或者1/4波長的奇數倍）所對應的頻率點實現(xiàn)了完全匹配，沒有駐波，但是在其他頻率點依然是失配的。其反射系數Γ 如下圖所示。
這種變換器所實現(xiàn)的阻抗匹配是窄帶的，僅在單個頻率點實現(xiàn)了完全匹配。1/4波長阻抗變換器的帶寬我們可以通過下面方法求解。說到帶寬，肯定是指滿足某種匹配約束的帶寬，也就是 最大反射系數 Γm 所對應的頻率范圍。如下圖所示，這里的帶寬就是 Δθ。
相對帶寬是：
Pozer 的《微波工程》上面給出了詳細的推導過程，需要的同學可以查閱5.4節(jié)。通過上面公式可以看出，當負載阻抗ZL 越接近Z0 時，阻抗變換器的帶寬越大。如下圖所示。
1/4波長阻抗變換器除了完成阻抗匹配之外還有很多神奇的應用，比如開路和短路電路的互換，終端短路和終端開路傳輸線上的阻抗分布如下圖所示，其在對應頻率點的1/4波長處發(fā)生反轉。需要注意的是，對于射頻信號，開路不一定真的開路，短路也不一定真的接地，線長很重要。
終端短路傳輸線的阻抗分布
終端開路傳輸線的阻抗分布
還有一個比較重要的應用實在威爾金森功分器的設計和平行線耦合器的設計中。威爾金森功分器中的1/4波長阻抗變換器
平行耦合線耦合器中的1/4波長阻抗變換器
就如同上文所述，1/4波長阻抗變換器是一個窄帶器件，然而我們總是希望帶寬越寬越好，最好是全帶寬匹配的，即使沒有人能真的擁有這么寬的頻譜資源。對于射頻工程師來說，我們總想著用一個寬帶去解決所有的問題。1/4波長阻抗變換器依然沒有讓你失望。
二 多節(jié)變換器
如同上文的結論，匹配帶寬與要匹配的兩個阻抗相關，阻抗比越大，匹配帶寬越小。阻抗越接近，匹配帶寬越大。那么對于一個阻抗相差比較大的網絡，我們是否可以通過多個依次遞進的阻抗變換來實現(xiàn)高低阻抗的過度？答案是肯定的。《微波工程》第5.5節(jié)引入了小反射理論給出了詳細的證明，想了解詳情的同學可以查閱學習。我們直接上重點：巴特沃斯型多節(jié)阻抗變換器和切比雪夫型多節(jié)阻抗變換器。
巴特沃斯響應最先由英國工程師斯蒂芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年發(fā)表在英國《無線電工程》期刊的一篇論文中提出的，其在接近設計頻率處，相應盡可能的平坦，因此又叫做最平坦響應，又由于其系數滿足二項式系數，也叫做二項式響應。名字也夠多的，記住下面的波形就是最平坦/二項式/巴特沃斯的響應曲線。
巴特沃斯型多節(jié)阻抗變換器的反射系數Γ 滿足下面公式。
在設計的時候，可以相對帶寬的需要確定阻抗變換器的節(jié)數N，然后根據阻抗公式從Z0開始依次求出每一節(jié)所需要的阻抗值。
相對帶寬公式：
阻抗公式：
巴特沃斯型多節(jié)阻抗變換器的反射特性如下圖所示：
理論上我們可以根據巴特沃斯函數做出無數節(jié)阻抗變換器，但是這樣也意味著體積的無限擴大，射頻設計是一個多方面因素平衡的結果，一般情況下，3-5節(jié)也就夠工程應用了，拋開復雜的計算，我們可以通過查表來快速完成，當然感興趣的同學也可以直接寫代碼做個小APP來輔助設計。
巴特沃斯阻抗變換器設計表（來自《微波工程》）
另一種比較常用的多節(jié)阻抗變換器是基于切比雪夫響應的阻抗變換器，切比雪夫多項式是以俄國著名數學家切比雪夫(Tschebyscheff，又譯契貝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函數，其通帶內的響應以等波紋特性實現(xiàn)最佳的帶寬匹配，因此又叫做等波紋響應阻抗變換器。
切比雪夫多節(jié)阻抗變換器的反射系數Γ 滿足下面公式
Tn就是切比雪夫多項式
設計切比雪夫多節(jié)阻抗變換器時，首先根據通帶內所允許的最大反射系數Γm確定多項式的系數 |A|，
然后根據相對帶寬公式求得所需要的節(jié)數。
θm可以由下面公式求得。
然后依據下面公式從Z0依次求出每一節(jié)的阻抗值。
同樣的，感興趣的同學可以寫代碼做個APP來輔助設計，或者直接查表就可以了，《微波工程》給出了2-4節(jié)不同Γm對應的阻抗列表，日常設計這個表足夠了。
類似于單節(jié)阻抗變換器在功分器和耦合器中的應用，多節(jié)阻抗變換器也可以用來拓寬功分器和耦合器的帶寬。最常用的方式如下圖所示：
寬帶威爾金森功分器
威爾金森功分器中四分之一波長線用多節(jié)來代替，利用巴特沃斯多項式或者切比雪夫多項式來完成多節(jié)阻抗來拓寬帶寬，原理圖如下圖所示。
在AWR自帶的仿真案例中，給出了1：16的超寬帶威爾金森功分器設計，感興趣的同學可以學習一下：菜單欄 Help > Open Examples>16_Way_Power_Divider
寬帶耦合線型定向耦合器耦合線型定向耦合器也可以采用多節(jié)結構來增加帶寬，每一節(jié)的長度時1/4波長，和多節(jié)阻抗變換器類似，也可以設計成切比雪夫型或者巴特沃斯型，其原理圖如下圖所示。
三 漸變線型變換器
根據上文的學習，我們知道，隨著阻抗變換器節(jié)數的增加，各節(jié)阻抗之間的差值越小，匹配特性就越好，所以在無窮多的匹配節(jié)的情況下，我們可以近似為一個連續(xù)漸變的傳輸線，以實現(xiàn)更好的匹配效果，常用的漸變線型阻抗變換器有指數型(E)，三角型（T）和Klopfenstein型（K），每一種實現(xiàn)的性能不同，其結構如下圖所示，
漸變型阻抗變換器性能對比，我們在實際設計中可以根據需要進行選擇，K型性能最優(yōu)，通帶內有類似于切比雪夫響應的等波紋特性，其推導也是由切比雪夫多節(jié)變換器的節(jié)數增加到無限大時推導的，在有限尺寸下，可以利用K型漸變線來實現(xiàn)較好的匹配效果。
是不是感覺多節(jié)阻抗匹配有點類似于濾波器的設計，射頻濾波器也是一種特殊的阻抗匹配方式，也算是阻抗變換的一種吧。
今天就介紹到這里了，歡迎文末留言討論。
參考文獻：
1，微波工程， D M Pozer
2，射頻設計中的阻抗匹配
3，射頻設計中的阻抗
4，詳解 Wilkinson 功分器
