干貨 | FIR數(shù)字濾波器設計（下）

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今天給大俠帶來FIR數(shù)字濾波器設計，由于篇幅較長，分三篇。今天帶來第三篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設計，包括窗函數(shù)法設計FIR濾波器、頻率采樣法設計FIR濾波器以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設計FIR濾波器。話不多說，上貨。

這里也超鏈接了上、中兩篇，方便參考學習。

FIR數(shù)字濾波器設計（上）

FIR數(shù)字濾波器設計（中）

數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號，信號通過數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對比例或濾除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。

本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設計，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設計FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時，能夠做到嚴格的線性特性。

本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設計FIR濾波器。對FIR濾波器進行了詳細的理論分析，并且對應于每種方法都給出了設計實例。通過編寫MATLAB語言程序，運行程序，得到幅頻和相頻特性圖。

對于窗函數(shù)和firls函數(shù)設計的濾波器，還通過建立Simulink系統(tǒng)模塊進行仿真，觀察濾波器濾波情況。

FIR數(shù)字濾波器設計

 FIR數(shù)字濾波器的設計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語言中的數(shù)字信號處理工具箱，提供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運算更加方便和快捷。

在MATLAB中提供的濾波函數(shù)有fir1()，此函數(shù)以經(jīng)典的方法實現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設計，可以設計出低通、高通、帶通和帶阻濾波器；fir2函數(shù)設計的FIR濾波器，其濾波的頻率特性由矢量f和m決定，f和m分別為濾波器的期望幅頻響應的頻率相量和幅值相量。

Firls()和remez()的基本格式用于設計I型和II型線性相位FIR濾波器，I型和II型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率響應。并且提供了各種窗函數(shù)的函數(shù)，比如，hamming()是海明窗函數(shù)，hanning()是漢寧窗函數(shù)，kaiser()是凱澤窗函數(shù)，使在設計的過程中，不用自己重新設計窗函數(shù)。

Simulink是MATLAB眾多工具包中的一員，對于建模，Simulink提供了一個圖形化的用戶界面（GUI）。Simulink包括一個復雜的由接收器、信號源、線性和非線性組件以及連接件組成的模塊庫。定義完一個模型后，就可以通過Simulink的菜單或者在MATLAB的命令窗口輸入命令對它進行仿真。使用Scopes或者其他的顯示模塊，可以在運行仿真時觀察到仿真的結果。另外，還可以在仿真時改變參數(shù)，并且立即就可看到變化。

一、窗函數(shù)法設計FIR濾波器

設我們所要設計的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是 ， 是與其對應的單位脈沖響應，因此

（3-1）

 （3-2)

如果我們能夠在已知的情況下，求出，經(jīng)過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單位脈沖相應是無限長的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應濾波器的一種可能方法是對截取一段來近似代替，可是這樣會改變原來的濾波器指標，出現(xiàn)吉布斯效應誤差。

窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權序列w(n)來修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應序列，即：

                          （3-3）

w(n)是有限長序列，當n<0或n>N-1時，w(n)=0。

這種方法的重點在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過渡帶；旁瓣相對值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。

下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：

1、矩形窗(Rectangle Window)

                            （3-4）

其頻率函數(shù)為：

（3-5）

2、三角形窗(Bartlett Window)

（3-6）

其頻率函數(shù)為：

（3-7)

3、漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗

（3-8）

利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為：

（3-9）

當  時，，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為：

             (3-10)

4、漢明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗

（3-11）

其幅度函數(shù)為：

（3-12）

5、布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗

（3-13)

其幅度函數(shù)為：

 (3-14）

6、凱澤(Kaiser)窗

（3-15）

其中：β是一個可自由選擇的參數(shù)，是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。

上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表：

窗函數(shù)法設計濾波器的步驟：

1）根據(jù)技術要求確定等待求值濾波器的單位取樣響應。

2）根據(jù)對過渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。

3）計算濾波器的單位取樣響應：

                            （3-16)

上式中， 是前面所選擇好的窗函數(shù)。

4）檢驗技術指標是否滿足要求。根據(jù)下式計算：

(3-17)

如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。

本篇以一個FIR濾波器的設計為例說明如何使用MATLAB設計數(shù)字濾波器。

設計實例：用窗函數(shù)法設計線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率Wp=0.4*，阻帶截止頻率Ws=0.5*, 通帶衰減不大于3db，阻帶衰減不小于40db。

1、程序如下：

Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil(8*pi/Wdel);Wn=(0.4+0.5)*pi/2;window=hanning(N+1);b=fir1(N,Wn/pi,window);freqz(b,1,512)

程序執(zhí)行后所得幅頻和相頻如下圖所示：

2、用Simulink仿真對窗函數(shù)設計的低通濾波器進行濾波：

FIR低通濾波器的Simulink仿真模塊圖如下所示：

輸入信號：s(t)=sin(30πt)+sin(56πt)+sin(70πt)

數(shù)字濾波器參數(shù)設置：已知濾波器的階數(shù)n=80。

首先在Filter Type中選擇lowpass；

在Design Method選項中選擇FIR Window，接著在Window選項中選取hann；指定Filter Order項中的Specify order為80；

采樣頻率Fs=100Hz,截止頻率Fc=22.5HZ。

設置完以后點擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會看到所設計濾波器的幅頻響應和相頻響應曲線。

設計界面如下圖所示：

信號源參數(shù)設置：三個信號源的頻率分別是15Hz、28Hz、35Hz ：

運行仿真，得波形如下圖所示：

15HZ信號波形如下：

28HZ信號波形如下：           

35HZ信號波形如下：

濾波前的疊加波形如下：         

濾波后波形如下：   

由上圖可知，15Hz、28Hz、35Hz疊加后通過截止頻率為22.5HZ的FIR低通濾波器，輸出與15Hz信號波形相似，其它的高頻被阻隔。

二、頻率采樣法設計FIR濾波器

1、對理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響的等間隔采樣值H(k)。

H(k)實際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(h(n))的離散傅里葉變換（DFT），如下關系式：

 (3-18)

  (3-19)

為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣點的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過渡點，加寬過渡帶以減小通帶的起伏。

每一個抽樣值產(chǎn)生一個與 成正比，并位移的頻率響應，而H（k）與內(nèi)插函數(shù)的線性組合就是FIR濾波器的頻率響應，增加一點過渡可以使阻帶衰減提高到-44~54dB，二點過渡衰減-65~75，三點過渡衰減-85~95dB。

如果不能使過渡帶太寬，同時要求增大阻帶衰減，可以增加取樣點數(shù)N，但這樣會增加計算量、延時和誤差。

頻率取樣型FIR濾波器設計步驟：

(1)給定理想濾波器頻率響應。

(2)根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點數(shù)和h(n)的長度N。

 (3-20)

(3)由IFFT計算IDFT得到：             

 (3-21)

設計實例：

頻率采樣法設計一個帶通濾波器，

滿足：低阻帶邊緣：w1s=0.2*；低通帶邊緣：w1p=0.35*；高通帶邊緣：w2p=0.65*；高阻帶邊緣：w2s=0.8*。設計過渡帶中的頻率樣本值為t1和t2，取t1=0.109021，t2=0.59417456。

  設計程序如下：

M=40;al=(M-1)/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=[zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4)];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angh=[-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angh);h=real(ifft(H,M));freqz(h,1,512,1000)

實驗得幅頻相頻特性如下圖所示：

三、最優(yōu)化方法設計FIR數(shù)字濾波器

MATLAB信號處理工具箱提供了通用的工具函數(shù)firls和remez，采用不同的優(yōu)化方法可以設計最優(yōu)濾波器和多頻帶濾波器。

firls是fir1和fir2函數(shù)的擴展，其基本設計準則是利用最小二乘法使期望的頻率響應和實際的頻率響應之間的整體誤差最小。

Remez函數(shù)則利用Parks-McClellan算法設計線性相位FIR濾波器。

該算法能使期望頻率響應和實際頻率響應之間的最大誤差最小。Firls函數(shù)設計的濾波器在頻率響應上出現(xiàn)等波紋，因此也叫等波紋濾波器。

函數(shù)firls、remez調(diào)用的語法規(guī)則相同。

1） firls。

其調(diào)用格式為：

b=firls(n,f,a)

b=firls(n,f,a,w)

b=firls(n,f,a,’ftype’)

b=firls(n,f,a,w,’ftype’)

該函數(shù)用于設計n階FIR濾波器，其幅頻特性由f和a向量確定，f是頻率點向量，其范圍為0~1，是遞增向量；a是指定頻率點的幅度響應，與f必須同長度；b為函數(shù)返回的濾波器系數(shù)，長度為n+1,且具有偶對稱關系：b(k)=-b(n+2-k),  k=1,2,…,n+1；

b=firls(n,f,a,w)則使用權系數(shù)w給誤差加權。

b=firls(n,f,a,w,’ftype’)調(diào)用形式中，參數(shù)’ftype’用于指定所設計的濾波器類型，ftype=Hilbert，為奇對稱的線性相位濾波器。

返回的濾波器系數(shù)滿足b(k)=-b(n+2-k),  k=1,2,…,n+1；ftype=differentiator，則采用特殊加權技術，生成奇對稱的線性相位濾波器，使低頻段誤差大大小于高頻段誤差。

2） 函數(shù)remez的基本調(diào)用格式為：b=remez(n,f,a)。

其中各項意義同函數(shù)firls所述。

設計實例：

分別使用函數(shù)firls和remez函數(shù)設計20階帶通濾波器，阻帶頻率為ws1=0.3*，ws2=0.7*，通帶頻率為wp1=0.4*,wp2=0.6*，并畫出幅頻特性曲線。

1、程序如下所示：

f=[0 0.3 0.4 0.6 0.7 1];m=[0 0 1 1 0 0];n=20;b=firls(n,f,m);       %firls函數(shù)設計FIR數(shù)字濾波器[h,w]=freqz(b);     bb=remez(n,f,m);     %remez函數(shù)設計FIR數(shù)字濾波器[hh,w]=freqz(bb);axes('position',[0.2 0.2 0.5 0.5]); plot(w/pi,abs(h),'b:',w/pi,abs(hh),'r-');xlabel('frequency');ylabel('magnitude');grid on;

實驗得幅頻相頻特性如下圖所示：

2、用Simulink仿真對用firls函數(shù)設計的帶通濾波器進行濾波：

仿真模塊如下：

輸入信號：s(t)=sin(20πt)+sin(50πt)+sin(90πt)

數(shù)字濾波器參數(shù)設置：已知濾波器的階數(shù)n=20。

首先在Filter Type中選擇bandpass；

在Design Method選項中選擇FIR least-squares；

指定Filter Order項中的Specify order為20；

采樣頻率Fs=100Hz,Fstop1=15HZ，F(xiàn)pass1=20HZ，F(xiàn)pass2=30HZ，F(xiàn)stop2=35HZ。

設置完以后點擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會看到所設計濾波器的幅頻響應曲線。

設計界面如下圖所示：

信號源參數(shù)設置：三個信號源的頻率分別是10Hz、25Hz、45Hz ：

運行仿真，得波形如下圖所示：

（1）10HZ信號波形如下所示：

（2） 25HZ信號波形如下所示：        

（3）45HZ信號波形如下所示：

（4）濾波前波形如下所示：

（5）濾波后波形如下所示：

由以上波形可知，10Hz、25Hz、45Hz疊加后通過通頻帶為20Hz~30Hz的FIR帶通濾波器，輸出與25Hz信號相似，低頻和高頻部分被阻隔。

第三篇就到這里，本篇在數(shù)字濾波器的設計過程中，采用的設計方法是基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設計。設計過程中充分發(fā)揮了MATLAB語言編程效率高的特點以及Simulink仿真能力強的特點，完成各種計算與圖形繪制工作，使得數(shù)字濾波器的設計變得簡便快捷。通過FIR數(shù)字濾波器的設計實例，說明如何利用MATLAB來完成數(shù)字濾波器的設計，設計結果的各項性能指標均達到指定要求，Simulink仿真驗證了設計方法的正確性。本篇所述設計過程簡便易行，具有很好的實際運用意義。