從數(shù)學(xué)中的虛幻模式到傅里葉變換性質(zhì)

今天下午課程中講授傅里葉變換性質(zhì)部分內(nèi)容，這應(yīng)該是“信號(hào)與系統(tǒng)分析”課程中最為核心的重要內(nèi)容部分。往往由于傅里葉變換性質(zhì)眾多，內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，也成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。

▲ 課間同學(xué)們?cè)谠囎鲎鳂I(yè)預(yù)留的練習(xí)題

昨天備課的時(shí)候一直在思考，如何能夠?qū)⒏道锶~變換性質(zhì)的講解內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊?，想起了在一年之前發(fā)送的推文“ 數(shù)學(xué)中的虛幻模式[1] ”，其中介紹了由數(shù)學(xué)家Borwein 父子發(fā)現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)中虛幻模式現(xiàn)象，即數(shù)學(xué)規(guī)律突然消失的情況。

▲ David Borwein

一個(gè)典型的虛幻模式是針對(duì)與如下級(jí)數(shù)信號(hào)相乘結(jié)果的面積求解問題：

如果僅僅討論的面積，求解還是比較方便，它的面積為。但是求解上述信號(hào)乘積之后的面積則相對(duì)比較復(fù)雜。

下圖顯示了前兩項(xiàng)信號(hào)相乘之后的波形。如果通過數(shù)值計(jì)算，可以驗(yàn)證，這個(gè)波形的面積仍然嚴(yán)格為。

▲ sinc(t),sinc(t/3)信號(hào)相乘之后的波形

隨著相乘的信號(hào)項(xiàng)數(shù)增加，乘積結(jié)果信號(hào)逐步發(fā)生變化，變化幅度 越來越小。從波形上來看，整個(gè)乘積函數(shù)逐步收斂于一個(gè)固定函數(shù)。當(dāng)年Borwein定義了乘積函數(shù)的積分為如下：

它被稱為Borwein積分，它反映了乘積函數(shù)的面積。

求解上述面積非常困難，數(shù)學(xué)家借助于數(shù)值計(jì)算逐步求解上面的積分，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)令人困惑的現(xiàn)象：當(dāng)函數(shù)的乘積項(xiàng)N等于1至7的時(shí)候，積分的數(shù)值In始終都精確的等于π。但是當(dāng)N=8的時(shí)候，雖然看起來整個(gè)函數(shù)圖像與前面很相似，但結(jié)果卻不在嚴(yán)格等于π了，而是稍微變小了，大約小了0.0000000001（9個(gè)0，1個(gè)1）。

上面這種數(shù)學(xué)模型的突變，的確會(huì)使人感到困惑。除了它之外，還有更長(zhǎng)的數(shù)學(xué)虛幻模式，比如下面的積分，當(dāng)小于56的時(shí)候，都嚴(yán)格等于，直到大于等于57，就開始變小。

對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)虛幻模式的解釋，從傅里葉變換的角度，需要使用到相應(yīng)的尺度特性、頻移特性、卷積特性等等。并且在近期發(fā)表的《物理評(píng)論快報(bào)》上的 Satya N. Jajumda還對(duì)其使用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的隨機(jī) 游走的概念進(jìn)行解釋，因此使用該數(shù)學(xué)虛幻模式來引入傅里葉變換性質(zhì)的講解比較有趣。詳細(xì)的討論可以參見博文數(shù)學(xué)中的虛幻模式[1]。

▲ 課程中學(xué)生們正在通過微信思考作業(yè)練習(xí)題

在課程一開始，講述了信號(hào)乘積面積求解的問題，并指出前七向乘積的結(jié)果面積都嚴(yán)格等于。為了提起大家好奇心，對(duì)于前八項(xiàng)乘積信號(hào)的面積是多少做成一個(gè)選擇題，請(qǐng)同學(xué)們憑借自己的直覺進(jìn)行判斷，并將猜測(cè)通過公眾號(hào)打在公屏上。

下面顯示出只有八位同學(xué)猜對(duì)了答案。

▲ 故事之后引入的現(xiàn)場(chǎng)討論題

也許這種與直接相悖的結(jié)論，更能激起那些學(xué)習(xí)比較認(rèn)真自負(fù)學(xué)生們的興趣。希望他們能夠在周五完整學(xué)習(xí)完傅里葉變換性質(zhì)之后，能夠?qū)τ诒疚闹兴o出的Borwein積分對(duì)應(yīng)的所展示的數(shù)學(xué)虛幻模式能夠自行進(jìn)行分析。

▲ 課堂上，同學(xué)們通過公眾號(hào)將自己的直覺答案打在公屏上

參考資料

[1]數(shù)學(xué)中的虛幻模式: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/104134302

最后，給公眾號(hào)的同學(xué)們說一聲，本學(xué)期周二下午，周五上午我的大班課程需要用到公眾號(hào)，在這兩個(gè)半天期間大家盡量不要在公眾號(hào)留言提問。否則你們的提問飄過我的課堂公屏，我怕HOLD不住課堂氣氛。