二極管PN結(jié)中的玻爾茲曼常數(shù)

在網(wǎng)文 An Electronic Mesurement of the Boltzmann’s Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode 中介紹了使用三極管 2N3094 來測(cè)量 Boltzmann Constant 的方法。

由于這個(gè)方法簡(jiǎn)便易行，所使用的設(shè)備也是大多數(shù)電子實(shí)驗(yàn)室都具備，所以稱為很多電子類課程中，學(xué)生喜歡做的?電子實(shí)驗(yàn)。?

▲ Ludwig Boltzmann(1844-1904) 以及 Maxwell-Boltzmann 分布

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玻爾茲曼常數(shù)（Boltzmann constant），通常使用 k,kBk,kBk,kB 表示，是指有關(guān)于溫度及能量的一個(gè)物理常數(shù)。玻爾茲曼是一位奧地利物理學(xué)家，在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的理論有重大貢獻(xiàn)，玻爾茲曼常數(shù)具有相當(dāng)重要的地位。

▲ Boltzmann 常數(shù)

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▲ PN 結(jié)的結(jié)構(gòu)示意圖

這樣，外部總電流為：

在推文開始提到的文章中，使用 2N3904 測(cè)試二極管的 I-V 特性。對(duì)于 2N23904 的電流放大和轉(zhuǎn)換，選擇了 LF356 運(yùn)放進(jìn)行 I-V 轉(zhuǎn)換。 LF356 的偏置電壓為 10mA 和偏置電流為 30pA。

▲ 基于 2N3904 的 PN 結(jié)測(cè)量 Boltzmann 常數(shù)

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▲ JFET 輸入的 OPAMP-LF351 運(yùn)放

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設(shè)置數(shù)字直流電源 DP1308 輸出電壓從**-0.2 到 -10V**，同時(shí)測(cè)量 A,B 兩點(diǎn)的電壓變化，并換算成 PN 結(jié)的電壓 - 電流關(guān)系，繪制如下。

▲ 測(cè)量輸入電壓與電流曲線

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▲ 電流使用 LOG 尺度繪制的數(shù)據(jù)曲線

利用模型（3）匹配上述測(cè)量數(shù)據(jù)，將模式簡(jiǎn)化成下帶有參數(shù)[a,b,c]的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，利用前面測(cè)量的 PN 結(jié) I-V 數(shù)據(jù)，使用 SCIPY.OPTIMIZE 中的 curve_fit 函數(shù)進(jìn)行函數(shù)擬合，獲得參數(shù)[a,b,c]的數(shù)值。

測(cè)量參數(shù)為：

a=2.33332986e-11 b=3.79731168e+01 c=8.85188988e-03

由模式(3)可以知道，參數(shù) b 與 Boltzmann 常數(shù)之間的關(guān)系：

由模式(3)可以知道，參數(shù) b 與 Boltzmann 常數(shù)之間的關(guān)系：

將常數(shù) e, T = 300(27 攝氏度)代入上面公式，可以得到:

這個(gè)數(shù)值比現(xiàn)在測(cè)到得到精確的 Botlzmann 常數(shù)大了 1.9%左右。在上述時(shí)間條件下，這個(gè)數(shù)值非常精確了。

將前面所使用的三極管 2N3904 更換成另外一款 NPN 性的硅三極管 8050，使用相同的測(cè)試方案完成 8050 的 b-e 結(jié)的電壓 - 電流測(cè)試，所得到的數(shù)據(jù)曲線如下：

▲ 測(cè)試 NPN8050 的發(fā)射極 PN 結(jié)的 I-V 曲線

使用相同的方法進(jìn)行建模，并計(jì)算參數(shù)：

使用相同的方法進(jìn)行建模，并計(jì)算參數(shù)： 這個(gè)數(shù)值比精確 Boltzmann 常數(shù)大了 3.29%。

這個(gè)數(shù)值比精確 Boltzmann 常數(shù)大了 3.29%。

測(cè)量三級(jí)管 b-c 之間的 PN 結(jié)的電壓與電流曲線。在上述實(shí)驗(yàn)中將 2N3904 的 c，e 管教互換，測(cè)量得到的 PN 結(jié)電流 - 電壓曲線如下：

▲ 2N3904 的 BC 的 PN 結(jié)的電壓與電流關(guān)系

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這個(gè)結(jié)果比精確 Boltzmann 常數(shù)大了 14.2%。

▲ 直接對(duì) 2N3904 b-e PN 結(jié)測(cè)量對(duì)應(yīng)的電壓與電流之間的關(guān)系曲線

根據(jù)測(cè)量的電壓電流曲線，可以得到對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)和 Boltzmann 常數(shù)如下：

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這個(gè)數(shù)值比起精確的 Boltzmann 常數(shù)的數(shù)值高了 78.1%。

▲ 2N3904 的 B-E 結(jié)的 I-V 曲線

在實(shí)驗(yàn)[02-1]中，選擇不同測(cè)量數(shù)據(jù)的來擬合估算 Boltzmann 常數(shù)會(huì)產(chǎn)生一定的變化。下面選擇 2N3904 測(cè)量數(shù)據(jù)中，從數(shù)據(jù)編號(hào) n=10（對(duì)應(yīng)電流：0.06mA）開始，結(jié)束數(shù)據(jù)編號(hào) n 從 50 變化到 100，使用模型（3）計(jì)算相應(yīng)的 Boltzmann 常數(shù)，對(duì)應(yīng)的誤差曲線如下：

▲ 不同的二極管電流計(jì)算 Boltzmann 常數(shù)誤差變化

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從數(shù)值計(jì)算結(jié)果來看，使用前面數(shù)據(jù)測(cè)量范圍（10~78），對(duì)應(yīng)電流（0.06mA 變化到 0.7mA）時(shí)，測(cè)到得到的 Boltzmann 的誤差最小。

使用相同的 PN 結(jié)的模型，對(duì)于四種不同的方案測(cè)量了 Boltzmann 常數(shù)，其中包括有兩種不同型號(hào)硅 NPN 雙極性三極管，三極管的 b-e,b-c 結(jié)的測(cè)量，以及直接測(cè)量 b-e 的 PN 結(jié)電壓電流的情況。

通過前面的實(shí)驗(yàn)，可以看到使用 2N3904 基極接地的配置，測(cè)量的結(jié)果誤差最小。更換 NPN 晶體管為 8050，測(cè)量的結(jié)果偏大一些。 如果將 2N3904 的 C,E 極進(jìn)行對(duì)換，雖然從晶體管的結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的，但是結(jié)果誤差更大。

由于 PN 結(jié)電壓 - 電流模型中的參數(shù)隨著電流不同，導(dǎo)數(shù) PN 結(jié)附近半導(dǎo)體內(nèi)部的電子與空閑運(yùn)動(dòng)模式變化，從而使得模型參數(shù)也發(fā)生變化。所以使用不同電流范圍數(shù)據(jù)，測(cè)量數(shù)的 Boltzmann 的數(shù)據(jù)有所變化

▲ 測(cè)試電路方案