精度不夠，噪聲來(lái)湊

將觀察的模擬量轉(zhuǎn)換成數(shù)字量，給觀察和處理到來(lái)很大的便利。比如一個(gè)數(shù)字溫度計(jì)可以清晰的顯示出你的體溫，這要比判斷水銀溫度計(jì)方便。

數(shù)字溫度計(jì)

但這里也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)會(huì)產(chǎn)生量化誤差，會(huì)降低數(shù)值的精度。比如數(shù)字溫度計(jì)只顯示到 1 攝氏度，則在攝氏度范圍內(nèi)所顯示的溫度都一樣，這對(duì)判斷你是否發(fā)燒有時(shí)也會(huì)帶來(lái)麻煩。

那么該如何提高 ADC 轉(zhuǎn)換精度，降低量化誤差對(duì)于測(cè)量結(jié)果的影響呢？

1.ADC 的信噪比（SNR）

ADC 將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成有限個(gè)數(shù)的數(shù)字編碼，通常取連續(xù)區(qū)間的整數(shù)。比如 0~255 就構(gòu)成了 8 位 ADC 的數(shù)字編碼集合。變化后的數(shù)字就與原來(lái)模擬信號(hào)產(chǎn)生了量化誤差。對(duì)于理想 ADC，這種量化誤差一般位于 LSB。

如果在每次采樣之間信號(hào)變化若干個(gè)量化區(qū)間，而且變化與采樣時(shí)間不同步，這種量化誤差基本上呈現(xiàn)一種白色噪聲，取值均勻分布在從直流到采樣頻率一半的頻率區(qū)間內(nèi)。

ADC 可以表示成兩個(gè)階段時(shí)間采樣和幅度量化

SNR 表征了 ADC 結(jié)果中的信號(hào)能量與噪聲能量的比值。在上述理想假設(shè)下，僅僅考慮量化誤差所產(chǎn)生的噪聲，對(duì)于滿量程模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)量化之后對(duì)應(yīng)的信噪比有下面公式給出：

其中 N 是 ADC 的位數(shù)，也稱為 ADC 的分辨率。當(dāng)轉(zhuǎn)換結(jié)果的 SNR 增加時(shí)，對(duì)應(yīng)的 ADC 的有效位數(shù)也增加了，一個(gè) ADC 的有效位對(duì)應(yīng) 6dB 的信噪比。所以前面提到的減少數(shù)字量化誤差本質(zhì)上是如何提高轉(zhuǎn)換結(jié)果中 SNR。

2.Nyquist 定理和過(guò)采樣

Nyquist 定理，也稱為 Shannon 采樣定理，表明如使用均勻時(shí)間間隔的信號(hào)采樣完全恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)，采樣頻率至少比原信號(hào)最高頻率大兩倍，否則就會(huì)在采樣的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)“混疊”虛假的干擾信號(hào)。

為此，實(shí)際應(yīng)用中常常在采樣前使用低通濾波器將高于采樣頻率一半的成分去掉，做到這一點(diǎn)有時(shí)比較困難。

在下面的動(dòng)圖中，可以看到不同比例下所顯示的圖片因?yàn)榭臻g像采樣頻率不滿足 Nyquist 頻譜而出現(xiàn)的混疊現(xiàn)象。

二維圖片中的混疊現(xiàn)象

過(guò)采樣就是采用比 Nyquist 頻率高多的采樣速率采集信號(hào)，然后再對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑濾波、下采樣，這樣就可以避免使用抗混疊低通濾波器了。

3. 使用白噪聲進(jìn)行過(guò)采樣

3.1 帶有白噪聲時(shí)過(guò)采樣后的信噪比（SNR）

如果采樣后的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)時(shí)的量化誤差為白噪聲，那么它的能量密度均勻分布在直流到 Nyquist 采樣頻率一般的頻率空間里，它與是采樣頻率之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)。

當(dāng)使用高的采樣速率的時(shí)，量化噪聲分布在更寬的頻率范圍內(nèi)。如下圖所示：

過(guò)采樣如何影響量化噪聲的

根據(jù)上圖所示，當(dāng)采用更高的采樣頻率時(shí)，同樣的量化噪聲能力（綠色方框所示）就會(huì)分布在更寬的頻率空間（灰色方框），這樣就只有少部分的噪聲落在信號(hào)頻譜范圍內(nèi)了：。而信號(hào)頻譜范圍外的噪聲可以通過(guò)數(shù)字低通濾波器消除掉。

減少了量化噪聲，從而也就帶來(lái)了 ADC 有效的轉(zhuǎn)換位數(shù)。使用表示過(guò)采樣比率，即實(shí)際采樣速率除以 Nyquist 采樣頻率。那么通過(guò)過(guò)采樣所帶來(lái)的信噪比的變化為：

因此，每增加一倍的采樣頻率，就會(huì)提高信噪比 3dB，相當(dāng)于提高了 ADC 個(gè) bit。增加 6 個(gè) dB 就可以提高 ADC 轉(zhuǎn)換精度 1 個(gè) bit。

所以，假設(shè)需要增加 p 個(gè) ADC 的有效轉(zhuǎn)換比特，那么所需要的采樣頻率為：

其中是當(dāng)前 ADC 的采樣頻率。

3.2 數(shù)據(jù)抽?。―ecimation）

通常情況下的頻率是將 m 個(gè)數(shù)據(jù)相加之后再除以 m。這相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了低通平滑濾波，將信號(hào)中的毛刺去掉。

這種簡(jiǎn)單的平均并不能夠帶來(lái)結(jié)果的 bit 位的增加。數(shù)據(jù)抽?。―ecimation）和過(guò)采樣結(jié)合可以增加數(shù)據(jù)的有效位數(shù)。應(yīng)用中，將個(gè)數(shù)據(jù)累加，得到 N+2p 位的數(shù)，然后在右移 p 位，便可以得到 N+p 位的數(shù)據(jù)了。

3.3 什么時(shí)候采用過(guò)采樣可以提高 ADC 的有效位數(shù)？

為了能夠使得過(guò)采樣加數(shù)據(jù)抽取可能夠提高 ADC 的有效位數(shù)，需要滿足以下條件：

在輸入信號(hào)中應(yīng)該有一定的噪聲，具有在感興趣頻率范圍內(nèi)均勻分布的高斯分布的噪聲；

噪聲的幅值應(yīng)該能夠使得信號(hào) ADC 結(jié)果最后一位跳動(dòng)，否則所采集到的數(shù)值都一樣，經(jīng)過(guò)平均抽取就無(wú)法有效提高精度了。

通常情況下 ADC 內(nèi)部的熱噪聲以及輸入信號(hào)中的噪聲就可以滿足上面的要求，否則就要另外增加白色噪聲，此時(shí)成為噪聲擾動(dòng)(dither)方法。那么就有兩個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)了：

第一就是如何判斷采集過(guò)程中有復(fù)合高斯分布的白噪聲？

如果沒(méi)有如何人工添加？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題在實(shí)際中可以通過(guò)對(duì)一個(gè)直流信號(hào)進(jìn)行采集數(shù)據(jù)的直方圖統(tǒng)計(jì)，通過(guò)它的分布，可以進(jìn)行 Gause 檢驗(yàn)驗(yàn)證是復(fù)合高斯白噪聲分布的。下面兩個(gè)圖顯示了兩種可能的情形。

數(shù)據(jù)直方圖分析

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，可以在需要添加噪聲的時(shí)候，將二極管，或者電阻所產(chǎn)生的熱噪聲注入到輸入信號(hào)中。此過(guò)程需要保證注入的噪聲與輸入信號(hào)之間不相關(guān)。因此在一些反饋系統(tǒng)中，這種直接注入白色噪聲的方法就會(huì)失效。

下圖顯示了單片機(jī)采集 1.65V 直流電壓所得到的 ADC 數(shù)據(jù)，在 EXCEL 表格中繪制的直方圖分析表格，它反映了單片機(jī) ADC 內(nèi)部的熱噪聲。

對(duì)于 DC=1.65V 采樣的 ADC 結(jié)果的直方圖分析

使用三角波信號(hào)擾動(dòng)進(jìn)行過(guò)采樣

為了使得過(guò)采樣數(shù)據(jù)能夠提高有效 ADC 位數(shù)，需要采樣數(shù)據(jù)能夠在多個(gè)數(shù)字之間變動(dòng)。如果輸入數(shù)據(jù)噪聲非常小，采集到的 ADC 數(shù)據(jù)是穩(wěn)定的，此時(shí)就需要額外在信號(hào)中加入波動(dòng)的噪聲，以使得采集到的數(shù)據(jù)能夠有變動(dòng)。

一種常使用的擾動(dòng)噪聲信號(hào)就是三角波信號(hào)。理論分析可知，加入的三角波在周期上應(yīng)該等于 ADC 采樣時(shí)間再乘以過(guò)采樣倍數(shù)，三角波在幅度上為 n+0.5LSB，n 可以取 0,1,2,3。

如何增加三角信號(hào)來(lái)提高過(guò)采樣性能

如果輸入信號(hào)與加入的三角波信號(hào)不相關(guān)時(shí)，通過(guò)過(guò)采樣可以得到結(jié)果的信噪比為：

因此，每增加一倍的采樣率，就可以增加一位有效 ADC 位數(shù)。但實(shí)際上，這個(gè)增加的位數(shù)有可能減少，因此一般情況下，如果需要增加 p 位的 ADC 分辨率，施加三角波擾動(dòng)過(guò)采樣的頻率應(yīng)該等于：

對(duì)比前面通過(guò)白噪聲過(guò)采樣的情況，再增加同樣 ADC 有效位數(shù)時(shí)，使用三角波擾動(dòng)所需要增加的采樣頻率更低。

不像前面所分析的白噪聲，可以直接由電子器件內(nèi)部的熱噪聲產(chǎn)生。如果需要在輸入信號(hào)中添加三角波形，則需要借助外部的電路完成。下面顯示了在原有的信號(hào)采集調(diào)理電路回路中，通過(guò) RC 電路將單片機(jī)所產(chǎn)生的 PWM 方波信號(hào)轉(zhuǎn)換成三角波，然后在疊加在輸入信號(hào)的幅值上去。

使用硬件電路完成增加三角波擾動(dòng)

雖說(shuō)使用外加三角波擾動(dòng)可以更加有效提高采樣位數(shù)，但它要求三角波的周期與采樣周期之間保持有效的倍數(shù)關(guān)系，這往往需要對(duì)單片機(jī)內(nèi)部的時(shí)鐘設(shè)置有了更高的要求，有的時(shí)候可能無(wú)法滿足。

如果單片機(jī)電路中還帶有 DAC 模塊，則可以利用 DAC 產(chǎn)生所需要的白噪聲，或者三角波噪聲，疊加到采樣信號(hào)中，通過(guò)過(guò)采樣有效提高采樣的有效位數(shù)。

在本學(xué)期“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中，關(guān)于采樣定理的討論將會(huì)在第八周，第四周的內(nèi)容進(jìn)行討論。

噪聲，有的時(shí)候會(huì)干擾信號(hào)被人討厭，但有的時(shí)候則會(huì)幫助澄清信息，改善 ADC 的精度。有噪聲的世界就是這么奇妙。