談?wù)剼W拉公式與復(fù)指數(shù)信號(hào)

在之前的發(fā)文中，歐拉公式推導(dǎo)過程中有一處筆誤，將sin(x)和cos(x)的泰勒展開式顛倒，本次更新特別進(jìn)行更正。在此，特別鳴謝"不逃避，不回頭，不后退！"這位粉絲朋友。

正文：

在無(wú)線通信中信息的傳遞是通過電磁波的形式傳遞出去的。電磁波可以用一系列不同頻率的正弦函數(shù)來(lái)表示，我們可以利用正弦信號(hào)的幅度、頻率、相位這三個(gè)特性進(jìn)行信號(hào)的調(diào)制。在進(jìn)行信號(hào)處理時(shí)，如果使用正弦信號(hào)進(jìn)行分析，就需要進(jìn)行復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算，計(jì)算會(huì)相當(dāng)?shù)姆爆崱?/p>

不過，一個(gè)大牛早就幫我們找到了一個(gè)新的方向。他就是瑞士的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——萊昂哈德.歐拉，他提出了一個(gè)可以說(shuō)是世界上最完美的公式——?dú)W拉公式，在這個(gè)公式中將三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)完美的關(guān)聯(lián)到一起。于是，我們就可以使用復(fù)指數(shù)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)分析，對(duì)于復(fù)指數(shù)來(lái)說(shuō)，其運(yùn)算比較簡(jiǎn)潔，我們通常會(huì)使用復(fù)指數(shù)來(lái)替代正弦信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。

廢話不多說(shuō)，直接上公式！

e是自然數(shù)；

i是虛數(shù)，在通信里我們常用j表示；

cos是余弦函數(shù)；

sin是正弦函數(shù)；

x是以弧度單位的變量；

歐拉公式的推導(dǎo)

對(duì)于公式推導(dǎo)是最讓人頭疼的，但是不要怕，大家暫時(shí)只要做個(gè)了解就好，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中也不會(huì)讓來(lái)我們推導(dǎo)這個(gè)公式，我們只要記住這個(gè)公式即可。下面我們看看歐拉公式的推導(dǎo)過程。

在歐拉公式推導(dǎo)需要用到泰勒級(jí)數(shù)，先讓我們看一下泰勒級(jí)數(shù)。

公式中的變量z可以用ix帶入，得到表達(dá)式（1）：

因?yàn)閟inx和cosx的泰勒展開式，如下表達(dá)式（2）和（3）：

所以，最后將表達(dá)式（2）和表達(dá)式（3）帶入到表達(dá)式（1），即可得到歐拉公式。

幾何意義

因?yàn)闅W拉公式右邊cosθ + i sinθ是一個(gè)復(fù)數(shù)，我們可以將它在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上表示，因此，e^(iθ)就是單位圓上的點(diǎn)，實(shí)部是cosθ，虛部是sinθ，對(duì)應(yīng)的是從原點(diǎn)到A，輻角為θ，長(zhǎng)度為1的單位向量。

關(guān)于虛數(shù)i我們?cè)撛趺蠢斫饽兀?/p>

我們先來(lái)看看復(fù)數(shù)和復(fù)指數(shù)相乘會(huì)是什么情況？例如，復(fù)數(shù)z=r(cos(φ) + isin(φ))。

根據(jù)歐拉公式，可知：

復(fù)數(shù)z和復(fù)指數(shù)e^(iθ)相乘：

我們看到當(dāng)復(fù)指數(shù)乘以復(fù)數(shù)，相當(dāng)于這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)θ，θ大于0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，小于0則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在我們來(lái)看看復(fù)數(shù)i，我們將它換一種形式表示。當(dāng)θ=π/2時(shí)，i=cos(π/2) + i sin(π/2)，再根據(jù)歐拉公式得：

所以復(fù)數(shù)與i相乘，就相當(dāng)于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

復(fù)指數(shù)信號(hào)

對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào)，我們可以再引入一個(gè)時(shí)間變量t，θ隨著時(shí)間t以角速度ω變化，即θ=ωt+φ。因此，復(fù)指數(shù)信號(hào)可以表示為：

根據(jù)ω = 2πf，也可表示為：

A；幅度；

ω：角速度；

f：頻率；

φ：初相；

復(fù)指數(shù)信號(hào)是什么樣的呢？下面的圖形就是復(fù)指數(shù)信號(hào)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋前進(jìn)的三維圖形，從圖中可以看出，復(fù)指數(shù)信號(hào)在復(fù)平面上的投影是個(gè)圓，在實(shí)軸和虛軸上的投影分別是余弦和正弦函數(shù)。

其實(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)并不簡(jiǎn)單，但是其運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性，恰恰為復(fù)雜的信號(hào)處理運(yùn)算提供了簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)工具。