麥克斯韋方程是怎么告訴我們波的形式的

麥克斯韋方程，是所有電磁理論的基礎(chǔ)，其微分形式如下圖所示。

都說麥克斯韋方程是世界上最美的公式之一，可是這幾個(gè)方程，到底能讓我們了解些什么呢？

在說這個(gè)問題之前，先來說說相量的概念。

歐拉公式告訴我們：

所以對(duì)于平面上的任一點(diǎn)Z，可以表示為：

所以，對(duì)于一個(gè)實(shí)正弦信號(hào)，可以用下列形式表示：

所謂使用相量表示，即:

但是，也不是什么時(shí)候，都可以用相量進(jìn)行表示。

從上面公式可知，A(t)的相量形式，省去了Re{}以及e(jwt)。

那什么時(shí)候，這兩個(gè)可以省去呢？

一種情況是，大家都知道了，寫與不寫，大家都默認(rèn)是有這兩項(xiàng)的。

也就是說，使用相量形式的前提，是：

(1) 被表示的變量是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以不需要將Re{}寫出來

(2) 處理的系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，即變量的頻率分量是不變的，因此，不需要把e(jwt)寫出來。

所以，用相量來表示一個(gè)正弦信號(hào)時(shí)，只要寫出其幅度和相位就可以了。

不過，雖然不用寫出來，但是需要記住的是，其實(shí)這兩項(xiàng)是存在的。如果對(duì)A(t)進(jìn)行求導(dǎo)的話，不能忘記還有時(shí)間的存在，即：

現(xiàn)在，用相量來對(duì)麥克斯韋方程中的第一個(gè)和第二個(gè)旋度方程進(jìn)行處理。

為了簡化分析，假設(shè)所分析區(qū)域中的電流和電荷都為0。

類似的推導(dǎo)，也可以得到：

而這兩個(gè)式子，就是電磁場的波動(dòng)方程，或者說是波動(dòng)方程的相量形式。

波動(dòng)方程是一個(gè)微分方程，這個(gè)微分方程，可將變量在時(shí)間上的二階導(dǎo)數(shù)與其在空間上的二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。

定義波數(shù)：

在無耗的媒介中，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都為實(shí)數(shù)，因此k也為實(shí)數(shù)。

假設(shè)電場只存在于x方向，且只隨z的變化而變化。

把上面的相量形式改成正常形式后，則：

上面式子中的第一項(xiàng)，表示前向波，即隨著時(shí)間的增加，波沿著+z軸傳播；而第二項(xiàng)，表示后向波，即隨著時(shí)間的增加，波沿著-z軸傳播。

此時(shí)，相速，即波的相位在空間中傳播的速度如下式所示：

而電磁波的波長，則定義為在固定的時(shí)間點(diǎn)，兩個(gè)波峰或者波谷的距離。即：

因此，由麥克斯韋方程，可以得到電磁場的波動(dòng)方程，對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行求解，即可以得到電場和磁場在時(shí)間和空間上的傳播形式。