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這是關(guān)于現(xiàn)代合成器的系列文章的第一篇文章，本文介紹了基本的鎖相環(huán)操作以及各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
近年來，頻率合成技術(shù)發(fā)生了重大變化。數(shù)十年來，超低噪聲的分立式 VCO 一直是低噪聲合成器的核心存在，現(xiàn)在它們發(fā)現(xiàn)正在面臨來自集成 VCO 的挑戰(zhàn)。目前最好的分立式 VCO 仍然享有 20-30 分貝的相位噪聲優(yōu)勢，但是 IC 公司正在以完全集成為武器進(jìn)行一場非對稱的戰(zhàn)斗，以圖主導(dǎo)這個(gè)市場，它們并不追求最低的 VCO 噪聲，而是通過架構(gòu)創(chuàng)新讓自由運(yùn)行的 VCO 噪聲變得不再那么重要。
芯片廠商的解決方案是，在芯片上放置良好的 VCO，通過反饋將噪聲抑制到非常低的水平上，然后把它們分解到應(yīng)用頻帶內(nèi)，以進(jìn)一步降低相位噪聲。分立 VCO 供應(yīng)商現(xiàn)在面臨的挑戰(zhàn)是如何將它們在應(yīng)用頻帶內(nèi)出色的相位噪聲擴(kuò)展到更高頻率上，同時(shí)還能獲得最新合成器的全部架構(gòu)創(chuàng)新優(yōu)勢。
本系列文章一共分為五篇，第一篇將回顧現(xiàn)代先進(jìn)的設(shè)計(jì)方法，余下四篇文章中，有兩篇文章將介紹詳細(xì)的噪聲分析，一篇文章講述實(shí)現(xiàn)低噪聲的關(guān)鍵部件和工具，還有一篇將給出需要低噪聲的示例，以說明當(dāng)前的最新技術(shù)性能。
基本 PLL 操作和二階歸一化形式
大多數(shù)經(jīng)典教科書提供了標(biāo)準(zhǔn)二階形式的 PLL 設(shè)計(jì)，給出了雖然是近似但仍然非常有用的設(shè)計(jì)和分析方程，以及如圖 1 所示的循環(huán)操作的簡單描述。
圖 1：這是一款二階和三階形式帶高壓電荷泵的 PLL 頻率合成器（C1 = 0 表示二階）。通過可編程的 R 和 N 分頻數(shù)，由固件設(shè)置頻率。
我們一向習(xí)慣于將電壓和電流視為反饋量，但是，除此之外，PLL 還將相位和頻率視為小信號頻率域變量。當(dāng)尋求在較寬的頻率范圍內(nèi)鎖定時(shí)，現(xiàn)代相位頻率檢測器（PFD）充當(dāng)驅(qū)使壓控振蕩器（VCO）頻率鎖定的頻率檢測器。 隨著頻率不斷收斂，環(huán)路轉(zhuǎn)換到鎖相模式，其中，相位表現(xiàn)為數(shù)字沿的時(shí)間差，漸漸趨近于零。
頻率是相位變化量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（ω=dθ/ dt），所以可以把相位看做為頻率的積分。由于是壓控震蕩，VCO 充當(dāng)了輸入電壓到輸出相位的積分器，它會引入 -90 度的相移。這也是它的傳遞函數(shù)形式為 Ko/s 的原因，這是積分環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)頻域表示，在傳遞函數(shù)中，Ko 的單位一般是弧度 / 秒 / 伏特。VCO 的數(shù)據(jù)表通過以 MHz/V 為單位給出 Ko 的數(shù)值。為了統(tǒng)一，本文將 Hz/V 等價(jià)為 kHz，Ko 為弧度形式，因此，Ko = 2πKHz。
前向通道中的積分環(huán)節(jié)引入 -90 度相移，負(fù)反饋引入 -180 度相移，由于相移達(dá)到 -360 度時(shí)會導(dǎo)致不穩(wěn)定，所以濾波器環(huán)節(jié)的最大允許相移為 90 度。我們通常會在環(huán)路帶寬上留下至少 40 度的“相位裕度”。該裕度來自于電阻器 R2 在傳遞函數(shù)中引入的零點(diǎn)，因?yàn)槿绻麤]有這個(gè)電阻，電荷泵處的電容器會起到一個(gè)積分器的作用，再次引入 -90 度相移，這樣會直接導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。
現(xiàn)在我們回顧一下對相移的基本分析。參考文獻(xiàn)中給出了環(huán)路的經(jīng)典“相位傳遞函數(shù)”，定義如下：
Hclassic（s）是從相位檢測器上的參考輸入到反饋輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在經(jīng)典參考文獻(xiàn)中通常簡稱為“H（s）”。 這里的 classic 下標(biāo)用于和在大多數(shù)現(xiàn)代文獻(xiàn)中用于開環(huán)傳遞函數(shù)的“H(s)”進(jìn)行清楚地區(qū)分。對于上圖，如果我們對圖中各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行變量消除、替換和求解，會得到 Hclassic（s）的具體定義：
從這個(gè)等式可以看出，這是我們所熟悉的二階控制系統(tǒng)形式，為了幫助理解和計(jì)算，我們把它轉(zhuǎn)換為如下形式的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)形式：
這兩個(gè)方程式形式相同，根據(jù)等式（2）和（3），我們可以得到如下兩個(gè)參數(shù)：
這里的ωn 是“自然”角頻率，接近但通常不等于開環(huán)帶寬。系統(tǒng)穩(wěn)定后，其瞬態(tài)響應(yīng)會以固有頻率“反復(fù)震蕩”。這里的ζ是“阻尼因子”，為了保證系統(tǒng)最終能夠趨于穩(wěn)定，這個(gè)參數(shù)必須大于零。通常，我們會將阻尼系數(shù)設(shè)定為大約 0.5，這將提供大約 45 度的相位裕度，或者增加一個(gè)介于 0.7-1 之間的額外濾波極點(diǎn)。
通常的 PLL“誤差傳遞函數(shù)”定義為：
根據(jù)自動控制理論，He(s)也可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式：
從頻率響應(yīng)來看，He（s）是高通函數(shù)，而相位傳遞函數(shù) Hclassic（s）是低通函數(shù)。而且，從上面公式可以很快看出：
結(jié)果表明，使用這些函數(shù)可以方便地表達(dá) PLL 的許多調(diào)制和噪聲響應(yīng)，這將有助于理解環(huán)路是如何形成噪聲的。例如，相位檢測器參考輸入上的相位或相位噪聲變化將轉(zhuǎn)化為與相位傳遞函數(shù)成比例的 VCO 輸出。由于相位傳遞函數(shù)是一個(gè)低通函數(shù)，因此，高于環(huán)路帶寬的噪聲將被抑制掉或者被調(diào)制。環(huán)路帶寬內(nèi)的壓控振蕩器相位噪聲將根據(jù)上面給出的 He(s)函數(shù)形式被抑制，這部分噪聲包括分壓器噪聲、電荷泵噪聲和晶體參考噪聲。
根據(jù)上面的各個(gè)分析方程式，我們可以得到以下設(shè)計(jì)方程：
這兩個(gè)方程用于根據(jù)所選擇的固有自然角頻率和阻尼因子的數(shù)值確定 R 和 C 的具體值。當(dāng)引入額外的濾波極點(diǎn)時(shí)，這些值會發(fā)生變化（特別是電容器會變化很大），但用這兩個(gè)公式依然可以作為非常有用的起點(diǎn)，可以用于許多近似值的求取上，比如建立時(shí)間、超調(diào)量，也可以用于尋找環(huán)路濾波器可能的最小熱噪聲。
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三階無源濾波器 PLL
這是一種具備高度可用性的最簡單的三階無源濾波器 PLL 形式，只需要添加一個(gè)額外的電容器 C1 就能實(shí)現(xiàn)。這里引入了另一個(gè)濾波器極點(diǎn)，它可以抵消掉一個(gè)零點(diǎn)。這意味著，對于這個(gè)系統(tǒng)的相位頻率響應(yīng)而言，存在一個(gè)頻率點(diǎn)，相位在該處取得最高峰值，然后再下降（圖 2）。
圖 2：這是一個(gè)經(jīng)過正確設(shè)計(jì)的三階 PLL 的開環(huán)增益頻率響應(yīng)曲線和相位頻率響應(yīng)曲線。通過設(shè)計(jì)，最大相位出現(xiàn)在環(huán)路帶寬位置上。
環(huán)路濾波器阻抗為：
根據(jù)電路分析，上述公式中的參數(shù)如下：
開環(huán)增益函數(shù)由（G 是前向通道增益的傳遞函數(shù)，H 為反饋通道的傳遞函數(shù)）給出：
我們知道 Kd、Ko 和 N 這三個(gè)參數(shù)，需要選擇環(huán)路帶寬ωL 和相位裕度φm。為了找到我們上面公式中的三個(gè)未知數(shù) A0、T1 和 T2，需要建立三個(gè)等式。我們從 GH 的增益（在ωL 處為 1）、GH 的相位（在ωL 處給出φm）以及 GH 的相位相對于ω的導(dǎo)數(shù)（在ωL 處為零）求得它們。這也是現(xiàn)代控制理論中的基本方法。
GH 的幅值為：
當(dāng)ω = ωL 時(shí)，該幅值為 1，可以求得 A0
相位裕度是一個(gè)從零度到 90 度的正數(shù)，它是開環(huán)相位和 180 度的差值：
將相位裕度視為相移相對于可變頻率的導(dǎo)數(shù)，并在ω=ωL 處將該導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零，可以得到：
我們現(xiàn)在對兩個(gè)未知數(shù) T1 和 T2 有了兩個(gè)非線性方程。 我們可以用數(shù)學(xué)方法求解出這兩個(gè)未知數(shù)，但是有的參考文獻(xiàn)中給出了一個(gè)封閉形式的解法：
現(xiàn)在，我們可以確定如下電路參數(shù)的值：
二階濾波器（三階環(huán)路）是能夠?qū)崿F(xiàn)最低噪聲的濾波器形式。但是，將帶寬推高之后，通常需要一個(gè)額外的濾波極點(diǎn)，以保證相位檢測器的噪聲不會污染 VCO 的噪聲。
四階無源濾波器 PLL
這種形式使用了圖 3 中所示的三階濾波器，它可能是當(dāng)前的 VCO 產(chǎn)品中最常見的濾波器形式。
圖 3：這是四階和五階的濾波器形式
開環(huán)傳遞函數(shù)由下式給出：
濾波器（傳遞）阻抗由下式給出：
系數(shù) A1 和 A2 是冗長函數(shù)中參量的有用縮寫（參見該參量的冗長版本）。
使用開環(huán)傳遞函數(shù)中的幅度頻率特性：
我們接下來定義 Banerjee 所謂的“極值比”，設(shè)計(jì)師應(yīng)根據(jù)諸如雜散排斥等因素來選擇合適的極點(diǎn)比值。從技術(shù)上講，這些比值可以更恰當(dāng)?shù)乇环Q為時(shí)間常數(shù)的比率，但我們將繼續(xù)使用當(dāng)前控制系統(tǒng)領(lǐng)域已經(jīng)建立的術(shù)語來稱它們?yōu)闃O值比。
T31 用來定義所增加的極點(diǎn)到虛軸的距離，我們必須使用小于 1 的 T31，而且我們發(fā)現(xiàn)，將它定位 0.5 就可以幾乎實(shí)現(xiàn)所有可能的雜散抑制。
開環(huán)傳遞函數(shù)的相位裕度由下式給出：
相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值處。以相位對可變頻率取導(dǎo)數(shù)，然后應(yīng)用ω=ωL 的一階導(dǎo)數(shù)為 0 進(jìn)行計(jì)算，給出：
在選定了合適的極值比 T31 之后，T3=T31*T1，可以對 T2 和 T1 進(jìn)行數(shù)值求解。
現(xiàn)在我們來看看 Banerjee 使用的“Gamma 優(yōu)化因子”。它允許使用近似，我們可以將 T2 的早期表達(dá)式以近似形式擴(kuò)展到更高階的循環(huán)（參考文獻(xiàn) 7，第 5 版，第 309 頁），同時(shí)定義γ：
在實(shí)際設(shè)計(jì)中，該參數(shù)通常接近 1，范圍為 0.7 至 1.3。
經(jīng)過替換，我們可以得到這個(gè)近似值（相位裕度為相位和 180 度的差值）：
在上面這個(gè)表達(dá)式中，只需要求解出 T1 的值。當(dāng) x 較小時(shí)，tan-1 可以近似等于 x，計(jì)算得出的 T1 結(jié)果是：
再計(jì)算其它兩個(gè)時(shí)間常數(shù)：
使用近似方法時(shí)：
我們根據(jù)以下公式計(jì)算 A1 和 A2：
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現(xiàn)在，對于 C1、C2、C3、R2、R3 這五個(gè)未知數(shù)有了四個(gè)等式，為了求解，需要找到第五個(gè)方程，Banerjee 采用的方法是找到滿足這些等式的 C3 的最大值。對上面這些等式進(jìn)行一系列變換操作，可以找到 C3：
使用一階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn) C3 的峰值：
到這里為止，我們可以求解 C1 了，將它插入到等式 40 中求得 C3，最終結(jié)果為：
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無源濾波器五階 PLL
在環(huán)路中增加一個(gè)額外的 RC 環(huán)節(jié)可以在三階濾波器的基礎(chǔ)上對遠(yuǎn)距離雜散抑制指標(biāo)進(jìn)行適度改善。以一種非常近似的比較，三階環(huán)路濾波器對二階的改進(jìn)大約是 2 到 7 分貝，四階濾波器相對于三階濾波器的改進(jìn)大約是 1-3 分貝（參考文獻(xiàn) 7，第 5 版，第 7 頁）。
運(yùn)算放大器有源濾波器 PLL
使用運(yùn)算放大器的主要原因是可以擴(kuò)展環(huán)路濾波器的電壓范圍，以允許 VCO 具有較大的調(diào)諧范圍，相比之下，無源環(huán)路濾波器僅限于相對較低的合成器 IC 電荷泵輸出范圍。如文獻(xiàn) 2 和文獻(xiàn) 3 所示，有源濾波器方案可以降低 Ko，提高穩(wěn)定性，并降低噪聲。運(yùn)算放大器還允許使用阻值更小、噪聲更低的電阻，并可以在運(yùn)算放大器后放置一個(gè)極值最低的極點(diǎn)。有源環(huán)路濾波器有幾種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這里（圖 4）以完整的四階形式給出一個(gè)優(yōu)選版本。
圖 4：這是一個(gè)有源四階濾波器和五階 PLL，也可以選擇五階濾波器。這種濾波器被稱為“慢速震蕩”有源濾波器，因?yàn)檩斎氲?RC 環(huán)節(jié)降低了對響應(yīng)速度的要求。運(yùn)算放大器的帶寬限制性能有利于使用雙極輸入濾波器選項(xiàng)，將濾波器轉(zhuǎn)換為五階，將環(huán)路轉(zhuǎn)換為六階。
為運(yùn)算放大器的正輸入端提供一個(gè)低噪聲的直流參考電壓，環(huán)路和運(yùn)算放大器的組合可以將運(yùn)算放大器的負(fù)輸入保持在相同的電壓水平上。在這種形式下，運(yùn)算放大器的輸出將通過流過 Zfor 的電流“泵升”，以承受維持鎖定所需的任何電壓。可以選擇合適的器件參數(shù)值，使這種反相形式的噪聲增益很?。ㄒ姷?2 條）。
對于傳輸阻抗 Z（f），我們發(fā)現(xiàn)：
重要的一點(diǎn)是 T4 應(yīng)該是最低頻率的極點(diǎn)。
我們還發(fā)現(xiàn)：
作為 jω的函數(shù)的開環(huán)增益是：
使用開環(huán)傳遞函數(shù)的幅度函數(shù)（在循環(huán)帶寬處為 1）：
無論是 f1 較低還是 f3 較低，最低頻率的極點(diǎn)都應(yīng)該是 f4。
為了評估 A0 的值，我們需要得到 T4 和 T2，然后使用選定的極值比來求得 T1 和 T3，準(zhǔn)確的方程形式為：
最大相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值位置，我們用ω=ωL 代替出現(xiàn)最大相位裕度時(shí)的頻率，通過一階導(dǎo)數(shù)測試求?。?/p>
以上這些可以用于求出 T2 和 T4 的數(shù)值解，求出 T2 和 T4 后，通過選定的極值比導(dǎo)出 T1 和 T3，對于 f4 以上的最低極點(diǎn)，極值比大約為 0.5，次低極點(diǎn)的極值比大約為 0.25?？梢詫⑾旅娴慕浦底鳛榍笕?shù)值解的起點(diǎn)：
我們可以使用γ= 1，或者根據(jù) Banerjee 給出的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)改變它的取值。剩下的唯一變量就是 T4 了，我們可以求得它的數(shù)字解，或者求取近似解：
如果使用近似形式，可以進(jìn)一步求得 T2：
無論是數(shù)值解，還是近似解，根據(jù)選定的極值比：
現(xiàn)在，我們已經(jīng)有了 A0 = C1 + C2 這個(gè)等式所需的所有變量值了，然后我們可以找到所有器件的參數(shù)值：
現(xiàn)在我們來選擇 R3、C3、R4 和 C4 的值，這看起來很簡單，因?yàn)槲覀冇兴鼈兊臅r(shí)間常數(shù)（RC 乘積），但是這里有一些微妙的復(fù)雜性需要處理，而且還要考慮運(yùn)算放大器的限制。
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在運(yùn)算放大器的輸入端，乍看起來，似乎較小的 R3 可能有助于降低噪聲，但事實(shí)恰恰相反。 R3 的熱噪聲以其取值平方根的形式上升，噪聲增益也會隨著 R3 而下降，因此運(yùn)算放大器輸出上的 R3 噪聲隨著其取值以平方根的形式下降。 因此，我們傾向于根據(jù)其他限制允許選擇最大的 R3。
Banerjee 給出了相位頻率檢測器在頻率鎖定模式下的占空比，它是 fref 和 fout / N 之比的函數(shù)，如下所示：
上式中的 flower 取 fref 和 fout / N 中的最小值。由于大多數(shù) VCO 的鎖定頻率和其中心頻率的距離不是很遠(yuǎn)，因此占空比很少超過 10％（倍頻程型 VCO 是例外）。
我們將ΔVmC3 定義為在頻率鎖定采集事件期間，我們希望在 C3 上施加的最大濾波電壓和 Vref 的差值（比如為了符合運(yùn)算放大器的輸入要求）?；诖?，我們可以對 R3max 寫一個(gè)關(guān)系式：
此外，我們需要注意轉(zhuǎn)換速率限制。 Banerjee 提供了實(shí)驗(yàn)證據(jù)，如果運(yùn)算放大器的轉(zhuǎn)換速度不夠快，則環(huán)路帶寬內(nèi)的 1 / f 相位噪聲會惡化（通常會降低幾個(gè)分貝）。最壞情況下的壓擺率（最高值）通常對應(yīng)的是頻率鎖定過程結(jié)束時(shí)的頻率鎖定情況，由下式給出：
此外，還需要注意運(yùn)算放大器的帶寬限制問題，不過，我們可以通過添加雙極輸入濾波器來減輕它的影響。它可以幫助在濾波器件對運(yùn)算放大器進(jìn)行頻率限制，以防止有超出其指定帶寬的信號到達(dá)它的輸入端。
接下來，我們考慮運(yùn)算放大器輸出電流在 C4 上的限制。我們習(xí)慣于在運(yùn)算放大器的數(shù)據(jù)手冊上看到嚴(yán)格的負(fù)載限制，但是，當(dāng)這些負(fù)載被直流隔離時(shí)，許多負(fù)載可以驅(qū)動 10Ω甚至更小的負(fù)載，即使是大電容也是如此。不過，如果 PLL 上的頻率發(fā)生很大變化，那么該電容會激發(fā)出較大的電流，可能會超過運(yùn)算放大器的最大值，該限制值一般在 10mA 至 100mA 范圍內(nèi)。從根本上說，我們希望，在較大的頻率變化期間，運(yùn)算放大器最大電流 Iopmax 能夠以與 Dc * Ipd 對 C2 充電相同的速率對 C4 充電。使用庫侖定律 I * t = CV：
由于尺寸和成本的原因，得到的這個(gè)最大值有時(shí)會超過我們想要在實(shí)際設(shè)計(jì)中使用的值，而且，即使進(jìn)行了直流隔離，它也可能導(dǎo)致運(yùn)算放大器的電阻值太小。在這種情況下，我們先選擇 R4 的值，讓它的其熱噪聲遠(yuǎn)小于運(yùn)算放大器的噪聲，然后再計(jì)算 C4 = T4 / R4。
后面的系列文章
本文給出的傳遞函數(shù)能夠用來揭示第 2 篇和第 3 篇文章中的噪聲來源和形狀，這兩篇文章同時(shí)展示了推動完全集成的關(guān)鍵創(chuàng)新，以及分立 VCO 制造商是如何進(jìn)行反擊的。第 4 篇文章將介紹作為低噪聲合成器設(shè)計(jì)者武器的關(guān)鍵部件和 CAD 工具。第 5 篇給出了集成和分立 VCO 合成器的要求和示例。
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